Método del bootstrapping:

Luego de revisar los conceptos necesarios de tasas de interés e instrumentos de deuda, a continuación procederemos a revisar la técnica más conocida para obtener curvas cupón cero: el método del bootstrapping.
 
Esta metodología se basa en utilizar las tasas spot conocidas de corto plazo para calcular la tasas spot del siguiente periodo. Este proceso es seguido reiteradamente hasta conocer todas las tasas spot relevantes.

A continuación se presenta una tabla con cotizaciones de cuatro bonos bullet de distintos plazos que pagan cupones semestralmente y luego se desarrolla el procedimiento del bootstrapping:

 

Bono Plazo (años) Tasa cupón Yield To Maturity
A 0.50 5.0% 4.80%
B 1.00 5.7% 5.40%
C 1.50 6.0% 5.90%
D 2.00 6.3% 6.20%

 

Paso 1: Calcular los precios de cada uno de los bonos

Utilizando las yield to maturity y la fórmula del precio sucio procedemos a calcular los precios de los cuatro bonos:

De esta manera, para el bono C se tendría lo siguiente:

Procediendo de manera similar con los otros instrumentos obtenemos:  

Bono Precio Sucio
A 100.1252
B 100.3567
C 100.2615
D 100.3587

 

Paso 2: Calculo de las tasas spot utilizando un procedimiento sucesivo

En el caso del bono A, debido a que sólo le queda un cupón, su yield to maturity vendría a ser su tasa cupón cero. Utilizando esta tasa de interés en el bono B, procedemos a calcular la siguiente tasa spot mediante el principio de que un bono con cupones es un portafolio de un bono sin cupones. De esta manera observamos que el precio sucio de un bono con cupones se puede reescribir de la siguiente manera:

Utilizando esta fórmula y los precios sucios previamente calculados, procedemos a calcular el la tasa spot del bono B:

 Continuando el procedimiento obtenemos los siguientes valores para las tasas spot: 

Plazo (años) Tasa spot (St)
0.50 4.8000%
1.00 5.4086%
1.50 5.9213%
2.00 6.2314%

 

Esta tabla presenta las tasas cupón cero para los diferentes plazos del mercado con lo cual se constituye en una curva cupón cero. Si se desearan plazos intermedios, éstos podrían ser calculados utilizando algún método de interpolación.

 

Modelo Svensson:

Para implementar el modelo de bootstrapping, es necesario que los bonos utilizados para generar la curva cupón cero tengan las mismas fechas de corte de cupón. Adicionalmente, sus vencimientos tienen que estar espaciados un periodo de manera que se pueda utilizar el procedimiento iterativo previamente definido.

En la vida real, difícilmente encontramos este escenario pues lo normal es que las fechas de corte de cupón no coincidan y los plazos de los bonos se encuentren espaciados más de un periodo. El modelo Svensson, al igual que otros modelos de la literatura financiera, no requiere de dicho escenario ideal.

Este modelo utiliza la capitalización continua para desarrollar las fórmulas necesarias para su implementación pues se basa en las finanzas de tiempo continuo. En principio, el objetivo de Svensson era encontrar una curva de tasas de interés forward, sin embargo debido a la relación matemática entre las tasas forward y las tasas spot, se hace posible construir la curva cupón cero.

Como ya se mencionó anteriormente, una tasa interés forward tiene un vencimiento de x periodos contando m periodos a partir de hoy, por lo cual es definida por dos variables. La tasa forward instantánea es una tasa de interés forward cuyo vencimiento x se da un periodo infinitesimal luego de transcurrir m periodos. Es decir x tiende a m.

En el modelo Svensson, se simplifica la notación de las tasas de interés forward definiendo f(m) como la tasa de interés forward instantánea f(t, t+m) con plazo de liquidación (y vencimiento) m para una fecha dada t. Svensson describe la forma funcional de f(m) de la siguiente manera:

 

Utilizando las relaciones de las finanzas en tiempo continuo, la tasa spot r(t, T) en el momento t con madurez en el momento T es el promedio de todas las tasas forwards instantáneas con liquidación entre la fecha de transacción t y la fecha de madurez T. Debido a que estamos trabajando en el campo continuo, dicho promedio tiene que ser calculado utilizando una integral: 

 

Continuando con las simplificaciones, definimos r(m) como la tasa spot    r(t , t+m) con vencimiento m para una fecha dada t . Utilizando la función f(m) y resolviendo la integral se tiene que la forma funcional de r(m) que sería nuestra curva cupón cero:

Utilizando esta función, la estimación de la curva cupón cero se reduce a ajustar los parámetros a las cotizaciones del mercado de renta fija.

Sea J el número de bonos de similar riesgo y cada bono j con yield to maturity o rendimiento al vencimiento yj, duración Dj  y con precios de mercado Pj en el día t. Se asume que el rendimiento observado del bono j difiere del rendimiento estimado por un término error:

El rendimiento estimado del bono j puede ser obtenido a partir de sus flujos de caja y su precio estimado, el cual a su vez puede ser calculado utilizando la curva cupón cero del modelo tipo Svensson, definida por un vector de parámetros b. Dado que un pequeño cambio en el rendimiento del bono altera su precio de forma proporcional a su duración, los parámetros de la curva tipo Svensson son obtenidos minimizando la suma del cuadrado de los errores entre el precio de mercado y el precio estimado, Pj(b), de cada bono, multiplicado por el inverso de su duración, sujeta a un set de restricciones:

Función Objetivo: 

Sujeto a:

Pj          : precio limpio del bono j considerado válido
Pj(b)      : precio limpio estimado del bono j  utilizando la curva cupón cero con parámetros b 
r         : benchmark de la tasa de interés sin riesgo a un día

Para obtener el vector de parámetros b que define la curva cupón cero, este problema debe ser resuelto por mínimos cuadrados no lineales mediante optimización numérica.